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백준 11722번 (가장 긴 감소하는 부분 수열, C++)

#C++

문제

https://www.acmicpc.net/problem/11722

시간 제한 메모리 제한 제출 정답 맞힌 사람 정답 비율
1 초 256 MB 43124 26527 21831 62.422%

수열 A가 주어졌을 때, 가장 긴 감소하는 부분 수열을 구하는 프로그램을 작성하시오.

예를 들어, 수열 A = {10, 30, 10, 20, 20, 10} 인 경우에 가장 긴 감소하는 부분 수열은 A = {10, 30, 10, 20, 20, 10} 이고, 길이는 3이다.

입력

첫째 줄에 수열 A의 크기 N (1 ≤ N ≤ 1,000)이 주어진다.

둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 Ai가 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 1,000)

출력

첫째 줄에 수열 A의 가장 긴 감소하는 부분 수열의 길이를 출력한다.

예제 입력 1

plaintext 
6
10 30 10 20 20 10

예제 출력 1

plaintext 
3

예제 입력 2

plaintext 
5
5 5 5 5 5

예제 출력 2

plaintext 
1

예제 입력 3

plaintext 
6
10 9 8 7 6 5

예제 출력 3

plaintext 
6

예제 입력 3

plaintext 
8
50 40 30 60 20 10 70 5

예제 출력 3

plaintext 
5

알고리즘 분류

출처

비슷한 문제

이진 탐색을 활용한 LDS (Longest Decreasing Subsequence, 최장 감소 부분 수열)

O(N log N)

cpp 
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

pair<int, vector<int>> FindLDS(const vector<int>& input)
{
    int n = input.size();
    vector<int> tail; // 각 길이별 LDS의 마지막 원소 인덱스
    vector<int> prev_idx(n, -1); // 이전 원소의 인덱스 추적

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int lo = 0;
        int hi = (int)tail.size() - 1;
        int pos = (int)tail.size();

        while (lo <= hi)
        {
            int mid = (lo + hi) / 2;
            if (input[tail[mid]] > input[i])
            {
                lo = mid + 1;
            }
            else
            {
                pos = mid;
                hi = mid - 1;
            }
        }

        if (pos > 0)
        {
            prev_idx[i] = tail[pos - 1];
        }
        else
        {
            prev_idx[i] = -1;
        }

        if (pos == (int)tail.size())
        {
            tail.push_back(i);
        }
        else
        {
            tail[pos] = i;
        }
    }

    vector<int> lds;
    for (int idx = tail.back(); idx != -1; idx = prev_idx[idx])
    {
        lds.push_back(input[idx]);
    }
    reverse(lds.begin(), lds.end());

    return { tail.size(), lds };
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);
    std::cout.tie(NULL);

    int N;
    std::cin >> N;

    vector<int> input(N);
    for (int i = 0; i < N; i++)
        std::cin >> input[i];

    auto lds = FindLDS(input);

    cout << lds.first;

    return 0;
}

input = [9, 4, 3, 2, 5]

단계 i input[i] tail 내용 (저장된 인덱스) 의미
0 0 9 [0] 길이 1 LDS → 끝 원소는 input[0] = 9
1 1 4 [0, 1] 길이 2 LDS → 끝 원소는 input[1] = 4
2 2 3 [0, 1, 2] 길이 3 LDS → 끝 원소는 input[2] = 3
3 3 2 [0, 1, 2, 3] 길이 4 LDS → 끝 원소는 input[3] = 2
4 4 5 [0, 4, 2, 3] 길이 1~4까지의 각 LDS의 끝 인덱스 갱신

input = [10, 8, 6, 5, 7, 4, 3, 2, 9]

단계 i input[i] 이진 탐색 결과 pos tail 내용 (저장된 인덱스) tail에 대응되는 실제 값 prev_idx[i] 동작 설명
0 0 10 0 [0] [10] -1 첫 원소 → 길이 1 LDS 시작
1 1 8 1 [0, 1] [10, 8] 0 10→8 감소, 길이 2 LDS
2 2 6 2 [0, 1, 2] [10, 8, 6] 1 8→6 감소, 길이 3 LDS
3 3 5 3 [0, 1, 2, 3] [10, 8, 6, 5] 2 6→5 감소, 길이 4 LDS
4 4 7 2 [0, 1, 4, 3] [10, 8, 7, 5] 1 8→7으로 갱신 (길이 3의 마지막 갱신)
5 5 4 4 [0, 1, 4, 3, 5] [10, 8, 7, 5, 4] 3 5→4로 확장
6 6 3 5 [0, 1, 4, 3, 5, 6] [10, 8, 7, 5, 4, 3] 5 4→3 감소 확장
7 7 2 6 [0, 1, 4, 3, 5, 6, 7] [10, 8, 7, 5, 4, 3, 2] 6 3→2 감소 확장
8 8 9 1 [0, 8, 4, 3, 5, 6, 7] [10, 9, 7, 5, 4, 3, 2] 0 10→9으로 교체 (2번째 LDS 끝 갱신)
항목 의미
tail.size() 7 → 최장 감소 부분 수열의 길이 = 7
tail.back() 7 → input[7] = 2 → LDS의 마지막 원소
prev_idx [ -1, 0, 1, 2, 1, 3, 5, 6, 0 ] → 각 원소가 연결된 이전 원소 인덱스